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数学物理方法
仪器分析简明教程
数学物理方法（第三版）
生物化学实验
目前,国内已有很多关于数学物理方法的优秀教材,如郭敦仁教授、梁昆淼教授及吴崇试教授等分别所著的同名教材。但自2000年以来,国内各高校物理类专业的数学物理方法课程的学时数普遍受到压缩,有的学校甚至把该课程压缩到80学时以内。在较少的学时内把数学物理方法的主要知识传授给学生,是一项非常艰巨的任务。为了做到这一点,编者在编写本教材时,重点做了两方面的尝试:一是在不失数学理论的严谨性和课程内容的完整性的前提下,尽量避免过多的数学公式推导和证明,而侧重数学方法在解决实际物理问题中的应用;二是尽量使各章的前、后顺序安排更加合理,前、后内容相互连贯,层次清晰。
本教材包括复变函数、数学物理方程及特殊函数三大部分内容,共分十四章。第一部分主要介绍复变函数、复变函数的积分、解析函数的幂级数展开、留数定理及应用、傅里叶变换和拉普拉斯变换;第二分主要介绍数学物理方程的建立、分离变量法、傅里叶级数展开法、积分变换法及格林函数法;第三分主要介绍球函数、柱函数及量子力学中的特殊函数。
这里需要对上述课程内容编排进行几点说明:
(1)为了突出课程内容的前、后连贯性,首先系统介绍求解数学物理方程的几种不同的方法,然后再专门介绍分离变量过程中遇到的几种特殊函数。
(2)在分离变量法这一章,系统地介绍了三种不同形式的数学物理方程(波动方程、输运方程及泊松方程)在四种不同坐标系(直角坐标系、平面极坐标系、柱坐标系及球坐标系)中的分离变量法。
(3)在现有的一些数学物理方法教材中,很少对厄密函数和广义拉盖尔函数进行介绍。即便是有,也是把它们放在附录中。但这两种特殊函数是量子力学的重要数学工具。为此,本教材在第三部分中专门用 一 章 对 这 两 种 特 殊 函 数 的 引 入 及 其 性 质 进 行 详 细 的介绍。
第1篇 复变函数及应用
第1章 复变函数 ……………………… 3
1.1 复数的概念及运算……………… 3
1.2 复变函数的概念………………… 5
1.3 复变函数的导数………………… 7
1.4 解析函数………………………… 9
1.5 几种简单的解析函数 ………… 11
1.6 多值函数 ……………………… 13
第2章 复变函数的积分……………… 16
2.1 复变函数积分的概念 ………… 16
2.2 柯西定理 ……………………… 18
2.3 柯西公式 ……………………… 20
2.4 泊松积分公式 ………………… 23
第3章 解析函数的幂级数展开……… 26
3.1 复变函数项级数 ……………… 26
3.2 幂级数 ………………………… 28
3.3 泰勒级数展开 ………………… 29
3.4 洛朗级数展开 ………………… 31
3.5 孤立奇点的分类 ……………… 35
第4章 留数定理及应用……………… 38
4.1 留数定理 ……………………… 38
4.2 留数的计算方法 ……………… 39
4.3 留数定理的应用 ……………… 42
4.4 补充内容 ……………………… 46
第5章 傅里叶变换…………………… 51
5.1 傅里叶级数 …………………… 51
5.2 傅里叶积分变换 ……………… 54
5.3 傅里叶变换的性质 …………… 59
5.4 δ 函数 ………………………… 61
第6章 拉普拉斯变换………………… 67
6.1 拉普拉斯变换的定义 ………… 67
6.2 拉普拉斯变换的性质 ………… 69
6.3 拉普拉斯变换的反演 ………… 72
6.4 拉普拉斯变换的应用 ………… 74
第2篇 数学物理方程
第7章 数学物理方程的建立………… 83
7.1 波动方程 ……………………… 83
7.2 输运方程 ……………………… 87
7.3 泊松方程 ……………………… 89
7.4 定解条件 ……………………… 90
第8章 分离变量法…………………… 94
8.1 直角坐标系中的分离变量法 … 94
8.2 平面极坐标系中的分离变量法 …100
8.3 柱坐标系中的分离变量法…… 107
8.4 球坐标系中的分离变量法…… 110
8.5 施图姆-刘维尔型方程的本征值
问题…………………………… 114
第9章 傅里叶级数展开法 ………… 118
9.1 强迫振动的定解问题………… 118
9.2 有源热传导的定解问题……… 121
9.3 泊松方程的定解问题………… 123
9.4 非齐次边界的处理…………… 126
第10章 积分变换法………………… 131
10.1 傅里叶变换法 ……………… 131
10.2 拉普拉斯变换法 …………… 138
10.3 联合变换法 ………………… 141
第11章 格林函数法………………… 146
11.1 三维无界区域中的格林函数法…146
11.2 三维有界区域中的格林函数法…149
11.3 求解格林函数的电像法 …… 152
11.4 二维有界区域中泊松方程的
格林函数法 ………………… 155
第3篇 特殊函数
第12章 球函数……………………… 163
12.1 勒让德方程的级数解 ……… 163
12.2 勒让德多项式的基本性质 … 167
12.3 勒让德多项式的应用举例 … 173
12.4 连带勒让德函数 …………… 178
12.5 球函数定义和性质 ………… 180
12.6 非轴对称情况下拉普拉斯方程
的定解问题 ………………… 184
第13章 柱函数……………………… 187
13.1 贝塞尔方程的级数解 ……… 187
13.2 贝塞尔函数的基本性质 …… 191
13.3 贝塞尔方程的本征值问题 … 196
13.4 贝塞尔方程本征值问题的应用
举例 ………………………… 199
13.5 虚宗量贝塞尔函数 ………… 204
13.6 球贝塞尔函数 ……………… 207
第14章 量子力学中的特殊函数…… 212
14.1 薛定谔方程 ………………… 212
14.2 简谐振子的波函数与厄密
函数 ………………………… 214
14.3 氢原子的波函数与广义拉盖尔
函数 ………………………… 220
习题答案 ……………………………… 231
参考文献 ……………………………… 238
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