绪 论/1

第1章 数学物理方程及其定解条件/8

1.1 数学物理基本方程的建立/8

1.1.1 波动方程/8

1.1.2 热传导方程和扩散方程/23

1.1.3 泊松方程和拉普拉斯方程/26

1.1.4 亥姆霍茨方程/27

1.2 定解条件/28

1.2.1 初始条件/29

1.2.2 边界条件/29

1.3 定解问题的提法/31

1.4 二阶线性偏微分方程的分类与化简

解的叠加原理/32

1.4.1 含有两个自变量二阶线性偏微分

方程的分类与化简/32

1.4.2 线性偏微分方程的叠加原理/38

1.5 历史注记———数学物理学家:

达朗贝尔/39

1.6 例题分析/41

习题1/46

第2章 分离变量法/48

2.1 (1+1)维齐次方程的分离变量法/48

2.1.1 有界弦的自由振动/48

2.1.2 有限长杆上的热传导/56

2.2 二维Laplace方程的定解问题/61

2.3 非齐次方程的解法/67

2.4 非齐次边界条件的处理/74

2.5 历史注记———数学物理学家:傅里叶/79

2.6 例题分析/82

习题2/90

第3章 二阶常微分方程的级数解法

本征值问题/93

3.1 二阶常微分方程的级数解法/93

3.1.1 常点邻域内的级数解法/93

3.1.2 正则奇点附近的级数解法/95

3.2 Legendre方程的级数解/97

3.3 Bessel方程的级数解/101

3.4 Sturm-Liouville本征值问题/107

3.4.1 Sturm-Liouville方程/107

3.4.2 本征值问题的一般提法/108

3.4.3 本征值问题的一般性质/109

3.5 历史注记———数学物理学家:刘维尔/111

3.6 例题分析/113

习题3/121

第4章 Bessel函数的性质及其应用/122

4.1 Bessel方程的引出/122

4.2 Bessel函数的性质/124

4.2.1 Bessel函数的基本形态及

本征值问题/124

4.2.2 Bessel函数的递推公式/126

4.2.3 Bessel函数的正交性和模方/129

4.2.4 按Bessel函数的广义Fourier

级数展开/130

4.3 Bessel函数在定解问题中的应用/131

*4.4 修正Bessel函数/137

4.4.1 第一类修正Bessel函数/137

4.4.2 第二类修正Bessel函数/138

*4.5 可化为Bessel方程的方程/142

4.5.1 Kelvin(W.Thomson)方程/142

4.5.2 其他例子/142

4.5.3 含Bessel函数的积分/143

4.6 历史注记———天文学家、数学家:

贝塞尔/144

4.7 例题分析/145

习题4/154

第5章 Legendre多项式及其应用/156

5.1 Legendre方程与Legendre多项式

的引入/156

5.2 Legendre多项式的性质/159

5.2.1 Legendre多项式的微分表示/159

5.2.2 Legendre多项式的积分表示/161

5.2.3 Legendre多项式的母函数/161

5.2.4 Legendre多项式的递推公式/163

5.2.5 Legendre多项式的正交归一性/164

5.2.6 按Pn(x)的广义Fourier级数

1

目 录

展开/166

5.2.7 一个重要公式/166

5.3 Legendre多项式的应用/167

*5.4 关联Legendre多项式/172

5.4.1 关联Legendre函数的微分表示/172

5.4.2 关联Legendre函数的积分表示/172

5.4.3 关联Legendre函数的正交性

与模方/173

5.4.4 按Pm

l (x)的广义Fourier

级数展开/173

5.4.5 关联Legendre函数递推公式/174

*5.5 其他特殊函数方程简介/176

5.5.1 Hermite多项式/176

5.5.2 Laguerre多项式/178

5.6 历史注记———数学家:勒让德/179

5.7 例题分析/183

习题5/189

第6章 行波法和积分变换法/191

6.1 一维波动方程的d’Alember公式/191

6.2 三维波动方程的Poisson公式/195

6.2.1 三维波动方程的球对称解/195

6.2.2 三维波动方程的Poisson公式/196

6.2.3 Poisson公式的物理意义/199

6.3 Fourier积分变换法求定解问题/202

6.3.1 预备知识———Fourier变换

及性质/203

6.3.2 Fourier变换法/205

6.4 Laplace积分变换法解定解问题/208

6.4.1 Laplace变换及其性质/208

6.4.2 Laplace变换法/209

6.5 历史注记/213

6.5.1 数学家、天文学家:拉普拉斯/213

6.5.2 数学物理学家:泊松/215

6.6 例题分析/218

习题6/227

第7章 Green函数法/229

7.1 引 言/229

7.2 δ函数的定义与性质/230

7.2.1 δ函数的定义/230

7.2.2 广义函数的导数/231

7.2.3 δ函数的Fourier变换/232

7.2.4 高维δ函数/233

7.3 Poisson方程的边值问题/233

7.3.1 Green公式/234

7.3.2 解的积分形式———Green函数法/234

7.3.3 Green函数关于源点和场点

是对称的/238

7.4 Green函数的一般求法/239

7.4.1 无界区域的Green函数/239

7.4.2 用本征函数展开法求边值

问题的Green函数/241

7.5 用电像法求某些特殊区域的

Dirichlet-Green函数/242

7.5.1 Poisson方程的Dirichlet-Green

函数及其物理意义/242

7.5.2 用电像法求Green函数/244

7.6 历史注记———数学物理学家:格林/247

7.7 例题分析/251

习题7/254

* 第8章 积分方程和非线性微分方程简介/256

8.1 积分方程的分类及解法/256

8.1.1 积分方程的概念与分类/256

8.1.2 退化核方程的求解/257

8.1.3 积分方程的迭代解法/261

8.1.4 对称核的Fredholm 方程/269

8.1.5 微分方程与积分方程的联系/271

8.2 非线性微分方程及其某些解法/273

8.2.1 求解非线性微分方程的函数

变换方法/274

8.2.2 非线性偏微分方程的孤立波解/277

8.2.3 解析近似解与正则摄动法/280

8.3 历史注记———数学家:庞加莱/282

习题8/285

附 录/288

附录A 正交曲线坐标系中的

Laplace算符/288

附录B Γ函数的定义和基本性质/294

附录C 通过计算留数求拉普拉斯

变换的反演/295

附录D Fourier变换和Laplace变换简表/297