与数十年前使用的传统教材相比，现有主流教材保持了内容和体系的基本稳定，通常包  括一元微积分、多元微积分、向量代数与空间解析几何、无穷级数和微分方程等。不同教材  的差异主要体现在根据不同专业、不同层次的教学需求，对内容进行了有针对性的局部调  整。但是，相较于21世纪科学技术日新月异的前进浪潮和数学在科技创新中的支撑作用日  益突出的发展趋势，高等数学教材的改革力度明显不足。为了满足人工智能时代对创新型  人才培养的全新需求，我们必须在更大程度上突破传统框架的束缚，与时俱进地建设新的课  程教学体系。

大连理工大学按照分层次分流培养的教学理念，将高等数学细分为微积分、高等数学、  工科数学分析和数学分析B等多门课程，并开展了相应的教学建设。本书是为数学分析B  课程第一学期编写的教材，包括了一元微积分和多元微积分的基本内容。传统上，多元微积  分总是留到第二学期讲授。我们将其提前到第一学期，有以下几个原因。首先，为了在第二  学期留出足够的课时，加入含参变量积分、Fourier变换、Lebesgue测度与积分等近代数学理论的入门知识。其次，以多元微积分为基础，将微分方程放到第二学期中的场论之后，整  个数学分析B课程的逻辑结构更加严密，知识体系也更加完整。最后，物理类相关课程中  很早就会用到偏导数、梯度、重积分等概念，将多元微积分内容提前教授，有助于数学公共基  础课与专业课程的顺利衔接。

第1章 集合·映射·实数系   /1     

1.1 集 合 /1      

1.1.1 集合与元素 /1     

1.1.2 集合的运算 /2    

1.1.3 集合的乘积 /3     

1.1.4 一些常用集合 /4     

练习1.1 /4     

1.2 映 射 /4      

1.2.1 定义和表示法 /5     

1.2.2 映射的限制与延拓 /6     

1.2.3 可逆映射 /7     

练习1.2 /8      

1.3 实数系 /9      

1.3.1 确界原理 /9     

1.3.2 一些常用不等式 /10    

1.3.3 一些常用实数集 /11     

练习1.3 /11   

第2章 数列极限   /13

2.1 收敛数列及其极限 /13      

2.1.1 数列极限的定义 /13     

2.1.2 数列极限的性质 /16     

2.1.3 数列的子列 /19     

练习2.1 /19     

2.2 收敛性的判定 /20      

2.2.1 单调数列 /20     

2.2.2 数e /21    

2.2.3 基本列 /23    

练习2.2 /24      

2.3 实数系的扩张 /25      

2.3.1 无穷小数列 /25      

2.3.2 三种无穷大 /25     

2.3.3 广义实数系 /26     

练习2.3 /27   

第3章 一元函数的连续性   /28     

3.1 一元函数及其性质 /28      

3.1.1 函数的一般性质 /28    

3.1.2 一元函数 /29     

练习3.1 /31     

3.2 函数的极限 /31      

3.2.1 定义和基本性质 /31     

3.2.2 极限的其他形式 /37     

3.2.3 无穷小与无穷大 /39     

3.2.4 阶的比较 /41     

练习3.2 /43     

3.3 连续函数 /44      

3.3.1 连续与间断 /44     

3.3.2 介值性·反函数的连续性 /46     

3.3.3 初等函数的连续性 /48     

3.3.4 连续性与极限计算 /49     

3.3.5 闭区间上连续函数的最值性 /51     

练习3.3 /52   

第4章 一元函数微分学   /54     

4.1 导数与微分 /54      

4.1.1 函数的导数 /54     

4.1.2 导数的基本性质 /56     

4.1.3 导函数  /59     

4.1.4 函数的微分 /60     

练习4.1 /62     

4.2 微分学基本定理 /64 2       

4.2.1 极值与驻点 /64     

4.2.2 中值定理 /66     

练习4.2 /68      

4.3 不定式的极限 /69     

4.3.1 L'Hospital法则 /69     

4.3.2 其他类型的不定式 /72     

练习4.3 /73      

4.4 Taylor定理 /73      

4.4.1 高阶导数 /73     

4.4.2 带Peano余项的Taylor定理 /75     

4.4.3 带Lagrange余项的Taylor定理 /82     

练习4.4 /86      

4.5 导数与函数性质 /87      

4.5.1 导数与单调性 /87    

4.5.2 导数与凸凹性 /89     

4.5.3 导数与极值 /93     

4.5.4 函数的渐近线 /94     

4.5.5 函数作图 /96     

练习4.5 /97   

第5章 一元函数积分学   /99     

5.1 不定积分 /99      

5.1.1 原函数 /99     

5.1.2 换元积分法 /101    

5.1.3 分部积分法 /103    

5.1.4 有理函数的不定积分 /104     

练习5.1 /109    

5.2 Riemann积分 /109      

5.2.1 Riemann积分的概念 /109     

5.2.2  Riemann积分的基本  性质 /113     

练习5.2 /116      

5.3 微积分基本定理 /116      

5.3.1 变限积分 /116     

5.3.2 换元法和分部积分法 /120     

练习5.3 /123      

5.4 积分的应用 /124      

5.4.1 在几何方面的应用 /124      

5.4.2 在物理方面的应用 /126     

5.4.3 微元法 /127     

练习5.4 /129      

5.5 反常积分 /129      

5.5.1 无穷积分 /129     

5.5.2 瑕积分 /133     

练习5.5 /136   

第6章 多元函数的连续性   /137     

6.1 欧氏空间中的点集 /137     

6.1.1  n维欧氏空间瓗    n     /137     

6.1.2 瓗    n   中点列的极限 /140    

6.1.3 瓗    n   中的开集和闭集 /141   

练习6.1 /144     

6.2 多元函数与向量值函数的  极限 /144  

6.2.1 多元函数和向量值函数 /144     

6.2.2 多元函数的极限 /147     

6.2.3 向量值函数的极限 /150     

练习6.2 /152      

6.3 多元连续函数 /153     

6.3.1 定义和基本性质 /153     

6.3.2 向量值函数的连续性 /154    

6.3.3 介值性·有界性·  最值性 /155     

练习6.3 /156   

第7章 多元函数微分学   /157     

7.1 多元函数的导数 /157      

7.1.1 偏导数和方向导数 /157     

7.1.2 多元函数的微分 /160     

7.1.3 向量值函数的导数  与微分 /162     

7.1.4 复合映射的求导 /164     

练习7.1 /166     

7.2 隐函数·隐映射·逆映射 /167      

7.2.1 隐函数定理 /167     

7.2.2 隐映射定理 /171     

7.2.3 逆映射定理 /174     

练习7.2 /175  目 录    3          

7.3 多元函数的极值 /176      

7.3.1 高阶偏导数 /176     

7.3.2 多元 Taylor定理 /178     

7.3.3 无条件极值 /181     

7.3.4 条件极值和 Lagrange  乘数法 /187     

练习7.3 /194      

7.4 曲线和曲面 /195      

7.4.1 隐式曲线 /195     

7.4.2 参数曲线 /197     

7.4.3 隐式曲面 /201     

7.4.4 参数曲面 /202     

练习7.4 /206   

第8章 多元函数积分学   /208     

8.1 二重积分 /208      

8.1.1 矩形区域上的二重积分 /208     

8.1.2 可积与连续的关系 /210     

8.1.3 累次积分与二重积分的  计算 /212     

8.1.4 有界集合上的二重积分 /213     

练习8.1 /217     

8.2  n重积分 /218      

8.2.1 三重积分及其基本性质 /218     

8.2.2 高维积分 /223     

练习8.2 /224      

8.3 换元法 /225      

8.3.1 二重积分的换元法 /225     

8.3.2 三重积分的换元法 /229     

8.3.3 高维积分的换元法 /233     

练习8.3 /234      

8.4 反常重积分 /234      

8.4.1 有界集合上的反常  重积分 /235      

8.4.2 无界区域上的反常  重积分 /236     

练习8.4 /237      

8.5 重积分的应用 /238      

8.5.1 矩和质心 /238     

8.5.2 引 力 /239     

练习8.5 /241   

第9章 曲线积分和曲面积分   /242     

9.1 第一型曲线积分 /242      

9.1.1 第一型曲线积分的定义 /242     

9.1.2 第一型曲线积分的计算 /243     

练习9.1 /245     

9.2 第二型曲线积分 /245      

9.2.1 第二型曲线积分的定义 /245     

9.2.2 第二型曲线积分的计算 /247     

练习9.2 /251      

9.3 曲面的面积 /252      

9.3.1 曲面面积的定义 /252     

9.3.2 正则曲面的第一基本量 /254     

练习9.3 /256      

9.4 第一型曲面积分 /256      

9.4.1 第一型曲面积分的定义 /256     

9.4.2 第一型曲面积分的计算 /257     

练习9.4 /259      

9.5 第二型曲面积分 /260      

9.5.1 曲面的定向 /261     

9.5.2 曲面的拼接 /262     

9.5.3 第二型曲面积分的定义 /263     

9.5.4 第二型曲面积分的计算 /264     

练习9.5 /266   

参考文献   /268

部分练习的提示与答案   /269