本书在贯彻“以必须、够用为度”原则的基础上,力图体现下列特点:

(1)对于概念、定理、公式,尽可能从直观背景出发,提出问题,分析问题,水到渠成地得出结论。

(2)本着宏观不动,微观调整的原则,对传统内容适当删减,适当调整知识体系。

(3)各章节的例题和习题比较丰富,有利于打好基础,提高分析问题和解决问题的能力,并着重加强应用意识的培养。全书共分7章,具体内容包括:函数与极限、导数与微分、中值定理与导数的应用、不定积分、定积分、定积分的应用与微分方程。

第1章 函数与极限/1

1.1 函数/1

1.1.1 集合/1

1.1.2 映射/2

1.1.3 函数/3

1.1.4 函数的表示法/4

1.1.5 函数的特性/6

1.1.6 反函数/8

1.1.7 复合函数与初等函数/9

习题1-1/10

1.2 数列与函数的极限/12

1.2.1 极限方法/12

1.2.2 数列的极限/13

1.2.3 函数的极限/14

1.2.4 关于极限概念的几点说明/18

习题1-2/19

1.3 无穷小与无穷大/20

1.3.1 无穷小/20

1.3.2 无穷大/21

习题1-3/22

1.4 极限的运算法则/22

习题1-4/25

1.5 两个重要极限/26

习题1-5/30

1.6 无穷小的比较/30

习题1-6/32

1.7 函数的连续性/32

1.7.1 函数连续性的概念/32

1.7.2 函数的间断点/34

1.7.3 连续函数的运算/35

1.7.4 闭区间上连续函数的性质/37

习题1-7/38

总习题1/39

第2章 导数与微分/42

2.1 导数的概念/42

2.1.1 几个实例/42

2.1.2 导数的定义/44

2.1.3 导数的几何意义/46

2.1.4 可导与连续的关系/47

习题2-1/47

2.2 函数的求导法则/48

2.2.1 函数四则运算的求导法则/48

2.2.2 复合函数的求导法则/50

2.2.3 隐函数的求导法则/52

2.2.4 反函数的求导法则/53

2.2.5 由参数方程所确定的

函数的导数/54

2.2.6 对数求导法/55

习题2-2/57

2.3 高阶导数/59

习题2-3/61

2.4 函数的微分/62

2.4.1 微分的概念/62

2.4.2 微分基本公式与微分运算

法则/63

习题2-4/65

总习题2/66

第3章 中值定理与导数的应用/68

3.1 微分中值定理/68

3.1.1 罗尔中值定理/68

3.1.2 拉格朗日中值定理/69

3.1.3 柯西中值定理/71

习题3-1/71

3.2 洛必达法则/72

3.2.1 洛必达法则/72

3.2.2 其他类型未定式的极限/75

习题3-2/76

3.3 函数的单调性及其判别/77

习题3-3/79

3.4 函数的极值及其判别/79

3.4.1 极值的定义/79

3.4.2 极值存在的必要条件和

充分条件/80

3.4.3 函数的最大值与最小值/82

习题3-4/85

3.5 曲线的凹凸性与拐点

函数图形的描绘/86

3.5.1 曲线的凹凸性与拐点/86

3.5.2 函数图形的描绘/89

习题3-5/91

*3.6 曲率/91

3.6.1 弧微分/91

3.6.2 曲率及其计算公式/92

3.6.3 曲率圆与曲率半径/94

习题3-6/94

总习题3/95

第4章 不定积分/97

4.1 不定积分的概念与性质/97

4.1.1 原函数与不定积分/97

4.1.2 不定积分的几何意义/98

4.1.3 不定积分的性质/99

4.1.4 基本积分表/100

习题4-1/101

4.2 换元积分法/102

4.2.1 第一类换元积分法/102

4.2.2 第二类换元积分法/107

习题4-2/111

4.3 分部积分法/112

习题4-3/116

4.4 函数的积分举例与积分表的

使用/117

4.4.1 简单有理函数的积分/117

4.4.2 三角函数有理式的积分/119

4.4.3 积分表的使用/121

习题4-4/122

总习题4/123

第5章 定积分/126

5.1 定积分的概念与性质/126

5.1.1 两个实际问题/126

5.1.2 定积分的定义/128

5.1.3 定积分的几何意义/129

5.1.4 定积分的性质/130

习题5-1/131

5.2 微积分基本公式/132

5.2.1 变上限的定积分/132

5.2.2 牛顿-莱布尼茨公式/134

习题5-2/137

5.3 定积分的计算/137

5.3.1 定积分的换元积分法/137

5.3.2 定积分的分部积分法/141

习题5-3/143

5.4 广义积分/144

5.4.1 无限区间上的广义积分/144

5.4.2 无界函数的广义积分/146

习题5-4/148

总习题5/149

第6章 定积分的应用/152

6.1 定积分的元素法/152

6.2 定积分的几何应用/153

6.2.1 平面图形的面积/153

6.2.2 体积/156

6.2.3 平面曲线的弧长/158

习题6-2/160

6.3 定积分的物理应用/160

6.3.1 变力沿直线所做的功/160

6.3.2 水压力/162

习题6-3/162

总习题6/162

第7章 微分方程/165

7.1 微分方程的基本概念/165

习题7-1/168

7.2 一阶微分方程/168

7.2.1 可分离变量的方程/169

7.2.2 一阶线性微分方程/172

7.2.3 一阶微分方程的应用/175

习题7-2/177

7.3 可降阶的高阶微分方程/178

7.3.1 y(n)=f(x)型微分方程/178

7.3.2 y″=f(x,y')型微分方程/179

7.3.3 y″=f(y,y')型微分方程/180

习题7-3/181

7.4 二阶常系数线性齐次微分

方程/182

7.4.1 二阶常系数线性齐次微分

方程解的结构/182

7.4.2 二阶常系数线性齐次微分

方程的通解/183

习题7-4/186

7.5 二阶常系数线性非齐次微分

方程/187

7.5.1 二阶常系数线性非齐次微分

方程解的结构/187

7.5.2 二阶常系数线性非齐次微分

方程的解法/187

习题7-5/193

总习题7/194

部分习题参考答案与提示/196

附录 /211

附录1 初等数学中的常用公式/211

附录2 几种常用的平面曲线方程及其

图形/214

附录3 积分表/217

参考文献/225