《应用微积分》是为普通高等院校,特别是应用技术型大学所编写的数学教材。通过

本课程的学习,可获得一元函数微积分及其应用、多元函数微积分及其应用,以及向量代

数与空间解析几何、无穷级数与微分方程等方面的基本概念、基本理论、基本方法和基本

技能。考虑到授课对象的特点,在编写过程中,我们力求突出以下几个方面:

(1)在教材内容的选择上,既注意到微积分理论的系统性,又在不失严谨的前提下,适

当删减或调整知识体系。例如,在极限部分,突出了函数极限的地位,而把数列极限作为

函数极限的特例,避免了叙述上的重复,使主旨内容更为简明;在一元函数积分学中,先讲

定积分概念,而不定积分和积分法作为定积分的计算工具自然引出,这样就还原和强调了

积分的思想。在多元函数积分学中,把重积分、第一型曲线、曲面积分统一为数量值函数

在几何形体上的积分,与一元函数定积分前后呼应,既便于理解,又削减了篇幅。在微分

方程的初等积分法中,突出了一阶线性微分方程,而把一阶齐次方程、伯努利方程、可降阶

方程统一归为利用变量代换求解的微分方程,使这部分内容脉络更为清晰。

(2)考虑到应用型本科院校的实际,在引出概念、定理、公式方面,尽可能按照认识规

律,从直观背景出发,深入浅出,提出问题,解决问题,水到渠成地得出结论。对某些概念

还从不同角度加以阐述、类比,使学生接受起来形象易懂。例如,对于闭区间上连续函数

的介值定理和罗尔中值定理,除讲明其几何意义外,还给出其物理解释;在引出初学者不

易理解的泰勒公式时,不厌其详地阐述多项式逼近函数的思想,结合几何形象,分析如何

获取最为理想的多项式,并以二阶泰勒公式为例,自然推广,引出泰勒定理。本教材十分

重视基础的训练和基本能力的培养,和一些传统教材相比,每一章节围绕着相关定理和运

算法则,配置的例题更为丰富,每一节后的习题数量也较为充足。考虑到有的学生有志于

攻读更高层次的学位,在每一章后附有复习题,这些题目概念性强,综合性强,可满足这部

分学生的学习需要。

(3)注重应用意识的培养,突出微积分的强大应用功能。当代著名数学家、教育家、沃

尔夫奖获得者P·D·拉克斯(PeterD.Lax)指出:“目前数学在非常广泛的领域里的研究

蓬蓬勃勃,而且成就辉煌,但还没有充分发挥人们的数学才华以加深数学与其他学科的相

互关系。这种不平衡对于数学及其使用者都是有害的。纠正这种不平衡是一种教育工

作,这必须从大学一开始做起,微积分是最适合从事这项工作的一门课程。”“在微积分里,

学生可以直接体会到数学是确切表达科学思想的语言,可以直接学到科学是深远影响着

数学发展的数学思想的源泉。最后,很重要的一点在于数学可以提供许多重要科学问题

的光辉答案。”我们非常赞赏这些观点。为了激发学生的学习热情,开阔眼界,活跃思想,

培养学习兴趣和应用意识,在选材上,我们非常注意联系应用实际,除经典的力学、物理学

实例外,还增加了化学、生态、经济、管理、生命科学、军事、气象、医学、农业及日常生活中

的实例。特别是在每一章的后面都设有“应用实例阅读”一节,提出了一些饶有趣味且具

有真实背景的实际问题,用本章学到的微积分知识加以解决,相信这些内容的设置,会进

一步激发学生的学习兴趣。

(4)本教材注重高等数学与初等数学内容的衔接,附有初等数学中的常见曲线、基本

初等函数、极坐标与直角坐标的基本内容。对于重要数学名词还给出了中英文对照,为学

生阅读英文材料提供方便。

第5章 向量代数与空间解析几何/1

5.1 向量及其运算/1

5.1.1 向量的概念/1

5.1.2 向量的线性运算/2

5.1.3 向量的数量积(点积、内积)/4

5.1.4 向量的向量积(叉积、外积)/6

5.1.5 向量的混合积/7

习题5-1/8

5.2 点的坐标与向量的坐标/8

5.2.1 空间直角坐标系/8

5.2.2 向量运算的坐标表示/11

习题5-2/14

5.3 空间的平面与直线/15

5.3.1 平 面/15

5.3.2 直 线/18

5.3.3 点、平面、直线的位置关系/20

习题5-3/24

5.4 曲面与曲线/26

5.4.1 曲面、曲线的方程/26

5.4.2 柱面、旋转面和锥面/28

5.4.3 二次曲面/32

5.4.4 空间几何图形举例/36

习题5-4/37

5.5 应用实例阅读/39

复习题五/43

参考答案与提示/45

第6章 多元函数微分学及其应用/47

6.1 多元函数的基本概念/47

6.1.1 多元函数的定义/47

6.1.2 二元函数的极限/50

6.1.3 二元函数的连续性/52

习题6-1/53

6.2 偏导数与高阶偏导数/54

6.2.1 偏导数/54

6.2.2 高阶偏导数/58

习题6-2/60

6.3 全微分及其应用/61

6.3.1 全微分的概念/61

6.3.2 可微与可偏导的关系/62

6.3.3 全微分的几何意义/64

6.3.4 全微分的应用/65

习题6-3/67

6.4 多元复合函数的微分法/67

6.4.1 链式法则/67

6.4.2 全微分形式不变性/72

6.4.3 隐函数的求导法则/73

习题6-4/77

6.5 偏导数的几何应用/78

6.5.1 空间曲线的切线与法平面/78

6.5.2 曲面的切平面与法线/81

习题6-5/84

6.6 多元函数的极值/85

6.6.1 多元函数的极值及最大值、最小值/85

6.6.2 条件极值 拉格朗日乘数法/87

习题6-6/90

6.7 方向导数与梯度/90

6.7.1 方向导数/91

6.7.2 梯度/93

习题6-7/96

6.8 应用实例阅读/96

复习题六/101

参考答案与提示/102

第7章 多元数量值函数积分学/106

7.1 多元数量值函数积分的概念与性质/106

7.1.1 非均匀分布的几何形体的质量问题/106

7.1.2 多元数量值函数积分的概念/108

7.1.3 多元数量值函数积分的性质/108

7.1.4 多元数量值函数积分的分类/109

习题7-1/111

7.2 二重积分的计算/113

7.2.1 直角坐标系下二重积分的计算/113

7.2.2 极坐标系下二重积分的计算/117

7.2.3 二重积分的几何意义/120

7.2.4 二重积分的换元法/121

习题7-2/122

7.3 三重积分的计算/124

7.3.1 直角坐标系下三重积分的计算/124

7.3.2 柱面坐标系与球面坐标系下三重积分的计算/126

习题7-3/133

7.4 数量值函数的曲线与曲面积分的计算/134

7.4.1 第一型曲线积分的计算/134

7.4.2 第一型曲面积分的计算/137

习题7-4/140

7.5 数量值函数积分在物理学中的典型应用/141

7.5.1 质心与转动惯量/142

7.5.2 引 力/145

习题7-5/146

7.6 应用实例阅读/147

复习题七/151

参考答案与提示/153

第8章 向量值函数的曲线积分与曲面积分/156

8.1 向量值函数在有向曲线上的积分/156

8.1.1 向量场/156

8.1.2 第二型曲线积分的概念/157

8.1.3 第二型曲线积分的计算/158

习题8-1/161

8.2 向量值函数在有向曲面上的积分/162

8.2.1 曲面的侧/162

8.2.2 第二型曲面积分的概念/163

8.2.3 第二型曲面积分的计算/165

习题8-2/167

8.3 重积分、曲线积分、曲面积分之间的联系/168

8.3.1 格林公式/168

目 录| 3

8.3.2 高斯公式/172

8.3.3 斯托克斯公式/175

习题8-3/176

8.4 平面曲线积分与路径无关的条件/178

习题8-4/181

8.5 场论简介/181

8.5.1 向量场的散度/182

8.5.2 向量场的旋度/184

8.5.3 几类特殊的场/185

习题8-5/186

8.6 应用实例阅读/187

复习题八/190

参考答案与提示/192

第9章 无穷级数/194

9.1 常数项无穷级数的概念与基本性质/194

9.1.1 常数项无穷级数的概念/194

9.1.2 常数项无穷级数的基本性质/197

习题9-1/200

9.2 正项级数敛散性的判别法/201

9.2.1 正项级数收敛的基本定理/201

9.2.2 比较判别法/202

9.2.3 比值判别法/205

9.2.4 根值判别法/207

习题9-2/207

9.3 任意项级数敛散性的判别法/208

9.3.1 交错级数敛散性的判别法/208

9.3.2 绝对收敛与条件收敛/210

习题9-3/212

9.4 幂级数/213

9.4.1 函数项级数的概念/213

9.4.2 幂级数及其收敛域/214

9.4.3 幂级数的运算与性质/217

9.4.4 泰勒级数/219

9.4.5 常用初等函数的幂级数展开式/221

习题9-4/227

9.5 傅里叶级数/228

9.5.1 三角级数/229

9.5.2 以2π为周期的函数的傅里叶级数/229

4 |应用微积分

9.5.3 以2l为周期的函数的傅里叶级数/234

9.5.4 在[-l,l]上有定义的函数的傅里叶展开/236

9.5.5 在[0,l]上有定义的函数的傅里叶展开/237

习题9-5/238

9.6 应用实例阅读/239

复习题九/243

参考答案与提示/245

参考文献/249