本教材共分上、下两册,我们力图体现下面特点:

1.遵循认识规律,揭示数学发现

对于概念、定理、公式,尽可能从直观背景出发,提出问题,分析问题,水到渠成地得出

结论,然后再抽象论证.在阐述过程中,努力将微积分的基本思想融入其中,引导学生学会

从量化的角度数学地思考问题,学会用微积分的观点、方法认识和处理问题.

2.适当调整知识体系

本着宏观不动,微观调整的原则,对传统内容适当增减.在局部章节采用新讲法.例

如,在极限部分,突出了函数极限的地位,削减了数列极限的篇幅,用整标函数的观点认识

和定义数列,把数列极限作为函数极限的特例,并用海涅定理将二者统一起来,从而使函

数极限的性质和运算很自然地移植到数列上来,避免了叙述上的雷同与重复;在一元函数

积分学中,先讲定积分,着重讲解积分思想、微积分基本公式,而不定积分和积分法作为定

积分的计算工具随后才引入;在多元函数积分学中,把重积分、对弧长的曲线积分、对面积

的曲面积分,统一为数量值函数在几何形体上的积分;把对坐标的曲线积分、曲面积分统

一为向量值函数在有向曲线(面)上的积分,并与向量场和物理背景有机地结合起来,这样

处理可使学生在较高层次上理解积分的本质.考虑到某些专业基础课和物理课教学的需

要,我们把微分方程一章放在了上册.

3.加强应用意识的培养,突出微积分的强大应用功能

当代著名数学家、教育家、沃尔夫奖获得者P·D.拉克斯(Lax,PeterD)指出:“目前

数学在非常广泛的领域里的研究蓬蓬勃勃,而且成就辉煌,但还没有充分发挥人们的数学

才华以加深数学与其他科学的相互关系.这种不平衡对于数学以及对于它的使用者都是

有害的.纠正这种不平衡是一种教育工作,这必须从大学一开始就做起,微积分是最适合

从事这项工作的一门课程.”“在微积分里,学生可以直接体会到数学是确切表达科学思想

的语言,可以直接学到科学是深远影响着数学发展的数学思想的源泉.最后,很重要的一

点在于数学可以提供许多重要科学问题的光辉答案.”

我们非常赞赏这些观点.为了激发学生的学习热情,开阔眼界,活跃思想,培养学习兴

趣和应用意识,在选材上,我们非常注意联系工科实际,除经典的力学、物理学实例外,还

增加了化学、生态、经济、管理、生命科学、军事、气象、医学、农业及日常生活中的实例.同

时还增设了一些简单的数学建模实例.

特别需要指出的是,在写作风格上,我们一改数学教材的古板面孔,在每一章的开头,

都针对该章的教学内容,提出一些饶有趣味的具有真实背景,且不乏时代感的应用问题,

并在每一章末设有应用实例一节.相信这些内容的设置,会更进一步激发学生学习微积分

的欲望.

4.加强综合应用数学知识能力的训练

各章节的例题和习题比较丰富,特别是适量选编了一些综合性的题目,这有利于学生

提高分析问题和解决问题的能力.对某些运算技巧(例如积分技巧)作了淡化处理.因为此

类技巧并未涉及基本的数学思想和方法,况且有些问题利用日臻完善的计算机软件即可

轻易解决.

5.融入微积分演进历史

教材中适量融入了微积分发展过程中的一些重要思想,结合相关章节介绍相关原理

产生的背景,展示数学先驱们的重大贡献,使学生在学习的同时,从微积分的发展足迹中

受到启迪.

6.推进教育数字化,以微课体现交互性

本教材响应二十大精神,推进教育数字化,建设全民终身学习的学习型社会、学习型

大国,及时丰富和更新了数字化微课资源,以二维码形式融合纸质教材,使得教材更具及

时性、内容的丰富性和环境的可交互性等特征,使读者学习时更轻松、更有趣味,促进了碎

片化学习,提高了学习效果和效率.

另外,对于重要数学名词,本教材给出中英文对照,为学生阅读英文资料提供了方便.

第1章 函数、极限与连续………………………………………………………………… 1

1.0 引 例……………………………………………………………………………… 1

1.1 函 数……………………………………………………………………………… 2

1.1.1 函数的概念…………………………………………………………………… 2

1.1.2 函数的几种常见性态………………………………………………………… 5

1.1.3 复合函数与反函数…………………………………………………………… 6

1.1.4 映 射………………………………………………………………………… 8

1.1.5 初等函数与非初等函数……………………………………………………… 9

习题1-1 ………………………………………………………………………………… 10

1.2 极 限……………………………………………………………………………… 13

1.2.1 极限概念引例………………………………………………………………… 13

1.2.2 自变量趋于有限值时函数的极限…………………………………………… 15

1.2.3 自变量趋于无穷大时函数的极限…………………………………………… 19

1.2.4 数列的极限…………………………………………………………………… 21

1.2.5 无穷小与无穷大……………………………………………………………… 22

习题1-2 ………………………………………………………………………………… 23

1.3 极限的性质与运算………………………………………………………………… 24

1.3.1 极限的几个性质……………………………………………………………… 25

1.3.2 极限的四则运算法则………………………………………………………… 26

1.3.3 函数极限与数列极限的关系………………………………………………… 29

1.3.4 夹逼法则……………………………………………………………………… 30

1.3.5 复合运算法则………………………………………………………………… 32

习题1-3 ………………………………………………………………………………… 34

1.4 单调有界原理和无理数e………………………………………………………… 35

1.4.1 单调有界原理………………………………………………………………… 35

1.4.2 极限lim x→∞ 1+1x x=e ……………………………………………………… 36

1.4.3 指数函数ex,对数函数lnx,双曲函数…………………………………… 39

习题1-4 ………………………………………………………………………………… 40

1.5 无穷小的比较……………………………………………………………………… 41

1.5.1 无穷小的阶…………………………………………………………………… 41

1.5.2 利用等价无穷小代换求极限………………………………………………… 44

习题1-5 ………………………………………………………………………………… 45

1.6 函数的连续与间断………………………………………………………………… 45

1.6.1 函数的连续与间断…………………………………………………………… 46

1.6.2 初等函数的连续性…………………………………………………………… 50

习题1-6 ………………………………………………………………………………… 53

1.7 闭区间上连续函数的性质………………………………………………………… 55

1.7.1 闭区间上连续函数的有界性与最值性质…………………………………… 55

1.7.2 闭区间上连续函数的介值性质……………………………………………… 56

1.7.3 函数的一致连续性…………………………………………………………… 59

习题1-7 ………………………………………………………………………………… 61

1.8 应用实例…………………………………………………………………………… 61

复习题1 ………………………………………………………………………………… 67

习题参考答案与提示…………………………………………………………………… 69

第2章 一元函数微分学及其应用……………………………………………………… 72

2.0 引 例……………………………………………………………………………… 72

2.1 导数的概念………………………………………………………………………… 73

2.1.1 变化率问题举例……………………………………………………………… 73

2.1.2 导数的概念…………………………………………………………………… 75

2.1.3 用定义求导数举例…………………………………………………………… 76

2.1.4 导数的几何意义……………………………………………………………… 78

2.1.5 函数可导性与连续性的关系………………………………………………… 79

2.1.6 导数概念应用举例…………………………………………………………… 80

习题2-1 ………………………………………………………………………………… 81

2.2 求导法则…………………………………………………………………………… 82

2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则…………………………………………… 83

2.2.2 复合函数的求导法则………………………………………………………… 84

2.2.3 反函数的求导法则…………………………………………………………… 86

2.2.4 一些特殊的求导法则………………………………………………………… 87

习题2-2 ………………………………………………………………………………… 92

2.3 高阶导数与相关变化率…………………………………………………………… 94

2.3.1 高阶导数……………………………………………………………………… 94

2.3.2 相关变化率…………………………………………………………………… 97

习题2-3 ………………………………………………………………………………… 99

2.4 函数的微分与函数的局部线性逼近…………………………………………… 100

2.4.1 微分的概念………………………………………………………………… 100

2.4.2 微分公式与运算法则……………………………………………………… 102

2.4.3 微分的几何意义及简单应用……………………………………………… 104

习题2-4 ………………………………………………………………………………… 106

2.5 利用导数求极限———洛必达法则……………………………………………… 107

2.5.1 00

型未定式的极限………………………………………………………… 108

2.5.2 ∞∞

型未定式的极限………………………………………………………… 110

2.5.3 其他类型未定式的极限…………………………………………………… 110

习题2-5 ………………………………………………………………………………… 112

2 |工科微积分

2.6 微分中值定理…………………………………………………………………… 113

2.6.1 罗尔定理…………………………………………………………………… 113

2.6.2 拉格朗日中值定理………………………………………………………… 114

2.6.3 柯西中值定理……………………………………………………………… 116

习题2-6 ………………………………………………………………………………… 118

2.7 泰勒公式———用多项式逼近函数……………………………………………… 119

2.7.1 泰勒多项式与泰勒公式…………………………………………………… 119

2.7.2 常用函数的麦克劳林公式………………………………………………… 122

习题2-7 ………………………………………………………………………………… 127

2.8 利用导数研究函数的性态……………………………………………………… 127

2.8.1 函数的单调性……………………………………………………………… 128

2.8.2 函数的极值………………………………………………………………… 130

2.8.3 函数的最大值与最小值…………………………………………………… 132

2.8.4 函数的凸性与拐点………………………………………………………… 133

2.8.5 曲线的渐近线,函数作图…………………………………………………… 135

习题2-8 ………………………………………………………………………………… 137

2.9 平面曲线的曲率………………………………………………………………… 139

2.9.1 弧微分……………………………………………………………………… 139

2.9.2 曲率和曲率公式…………………………………………………………… 140

习题2-9 ………………………………………………………………………………… 143

2.10 应用实例………………………………………………………………………… 144

复习题2………………………………………………………………………………… 148

习题参考答案与提示…………………………………………………………………… 150

第3章 一元函数积分学及其应用……………………………………………………… 154

3.0 引 例…………………………………………………………………………… 154

3.1 定积分的概念、性质、可积准则………………………………………………… 155

3.1.1 定积分问题举例…………………………………………………………… 155

3.1.2 定积分的概念……………………………………………………………… 156

3.1.3 定积分的几何意义………………………………………………………… 158

3.1.4 可积准则…………………………………………………………………… 159

3.1.5 定积分的性质……………………………………………………………… 160

习题3-1 ………………………………………………………………………………… 163

3.2 微积分基本定理………………………………………………………………… 164

3.2.1 牛顿-莱布尼兹公式………………………………………………………… 165

3.2.2 原函数存在定理…………………………………………………………… 166

习题3-2 ………………………………………………………………………………… 169

3.3 不定积分………………………………………………………………………… 170

3.3.1 不定积分的概念及性质…………………………………………………… 170

3.3.2 基本积分公式……………………………………………………………… 171

3.3.3 积分法则…………………………………………………………………… 172

习题3-3 ………………………………………………………………………………… 183

3.4 定积分的计算…………………………………………………………………… 185

3.4.1 定积分的换元法…………………………………………………………… 186

3.4.2 定积分的分部积分法……………………………………………………… 189

目 录| 3

习题3-4 ………………………………………………………………………………… 191

3.5 定积分应用举例………………………………………………………………… 192

3.5.1 总量的可加性与微元法…………………………………………………… 192

3.5.2 几何应用举例……………………………………………………………… 192

3.5.3 物理、力学应用举例………………………………………………………… 198

3.5.4 函数的平均值……………………………………………………………… 201

习题3-5 ………………………………………………………………………………… 202

3.6 反常积分………………………………………………………………………… 203

3.6.1 无穷区间上的反常积分…………………………………………………… 203

3.6.2 无界函数的反常积分……………………………………………………… 206

3.6.3 反常积分的收敛判别法…………………………………………………… 208

习题3-6 ………………………………………………………………………………… 210

3.7 应用实例………………………………………………………………………… 211

复习题3………………………………………………………………………………… 214

习题参考答案与提示…………………………………………………………………… 216

第4章 微分方程………………………………………………………………………… 220

4.0 引 例…………………………………………………………………………… 220

4.1 微分方程的基本概念…………………………………………………………… 221

习题4-1 ………………………………………………………………………………… 224

4.2 某些简单微分方程的初等积分法……………………………………………… 224

4.2.1 一阶可分离变量方程……………………………………………………… 225

4.2.2 一阶线性微分方程………………………………………………………… 226

4.2.3 利用变量代换求解微分方程……………………………………………… 229

4.2.4 某些可降阶的高阶微分方程……………………………………………… 232

习题4-2 ………………………………………………………………………………… 234

4.3 建立微分方程方法简介………………………………………………………… 235

习题4-3 ………………………………………………………………………………… 240

4.4 高阶线性微分方程……………………………………………………………… 241

4.4.1 线性微分方程通解的结构………………………………………………… 241

4.4.2 高阶常系数齐次线性微分方程的解法…………………………………… 244

4.4.3 高阶常系数非齐次线性微分方程的解法………………………………… 247

4.4.4 某些变系数线性微分方程的解法………………………………………… 253

习题4-4 ………………………………………………………………………………… 256

4.5 应用实例………………………………………………………………………… 257

复习题4………………………………………………………………………………… 261

习题参考答案与提示…………………………………………………………………… 263

参考文献…………………………………………………………………………………… 267

附 录……………………………………………………………………………………… 268

附录1 几种常见曲线………………………………………………………………… 268

附录2 汉英数学名词对照与索引…………………………………………………… 270

附录3 希腊字母表…………………………………………………………………… 274