第1章 函数、极限与连续/1

1.1 函 数/1

1.1.1 集 合/1

1.1.2 函数的概念/5

1.1.3 函数的几种特性/7

1.1.4 复合函数与反函数/8

1.1.5 映 射/10

1.1.6 初等函数与非初等函数/10

习题1-1/12

1.2 极 限/15

1.2.1 极限概念引例/15

1.2.2 数列的极限/16

1.2.3 自变量趋于无穷大时函数的

极限/19

1.2.4 自变量趋于有限值时函数的

极限/20

1.2.5 无穷小与无穷大/24

习题1-2/26

1.3 极限的性质与运算/27

1.3.1 极限的几个性质/27

1.3.2 极限的四则运算法则/29

1.3.3 函数极限与数列极限的关系/31

1.3.4 夹逼法则/32

1.3.5 复合运算法则/34

习题1-3/36

1.4 单调有界原理和无理数e/37

1.4.1 单调有界原理/37

1.4.2 极限lim x→∞ 1+1x

x =e/38

1.4.3 指数函数ex ,对数函数lnx,双曲

函数/41

习题1-4/42

1.5 无穷小的比较/43

1.5.1 无穷小的阶/43

1.5.2 利用等价无穷小代换求极限/45

习题1-5/46

1.6 函数的连续与间断/47

1.6.1 函数的连续与间断/47

1.6.2 初等函数的连续性/51

习题1-6/55

1.7 闭区间上连续函数的性质/56

1.7.1 闭区间上连续函数的有界性与最值

性质/56

1.7.2 闭区间上连续函数的介值性质/57

习题1-7/60

1.8 实数的连续性/60

1.8.1 实数连续性定理/60

1.8.2 闭区间连续函数性质的证明/67

习题1-8/72

1.9 应用实例/72

复习题一/77

习题参考答案与提示/79

第2章 一元函数微分学及其应用/82

2.1 导数的概念/82

2.1.1 引出导数概念的2个经典问题/82

2.1.2 导数的概念/83

2.1.3 用定义求导数举例/85

2.1.4 导数的几何意义及应用/87

2.1.5 函数可导性与连续性的关系/88

习题2-1/88

2.2 求导法则/90

2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则/90

2.2.2 复合函数的求导法则/92

2.2.3 反函数的求导法则/93

2.2.4 一些特殊的求导法则和方法/95

习题2-2/99

2.3 函数的微分/100

2.3.1 微分的概念/101

2.3.2 微分公式与运算法则/102

2.3.3 微分的应用/104

习题2-3/107

2.4 高阶导数与高阶微分/107

2.4.1 高阶导数的定义/107

2.4.2 隐函数和参数方程所确定的函数的高

阶导数/108

2.4.3 函数的n 阶导数/109

2.4.4 高阶微分/111

习题2-4/112

2.5 洛必达法则/113

2.5.1 00

型未定式的极限/113

2.5.2 ∞∞

型未定式的极限/115

2.5.3 其他类型未定式的极限/115

习题2-5/116

2.6 微分中值定理/117

2.6.1 罗尔定理/117

2.6.2 拉格朗日中值定理/118

2.6.3 柯西中值定理/120

习题2-6/122

2.7 泰勒公式/122

2.7.1 泰勒多项式与泰勒公式/122

2.7.2 常用函数的麦克劳林公式/125

2.7.3 泰勒公式的应用/126

习题2-7/128

2.8 利用导数研究函数的性态/129

2.8.1 函数的单调性/129

2.8.2 函数的极值/131

2.8.3 函数的最大值与最小值/133

2.8.4 函数的凸性与拐点/134

习题2-8/135

2.9 平面曲线的曲率/137

2.9.1 弧微分/137

2.9.2 曲率和曲率公式/138

习题2-9/141

2.10 非线性方程的数值解法/141

2.10.1 二分法/141

2.10.2 切线法(牛顿法)/142

习题2-10/144

复习题二/144

习题参考答案与提示/146

第3章 一元函数积分学及其应用/151

3.1 定积分的概念、性质、可积准则/151

3.1.1 定积分问题举例/151

3.1.2 定积分的概念/153

3.1.3 定积分的几何意义/154

3.1.4 可积准则/155

3.1.5 定积分的性质/156

习题3-1/160

3.2 微积分基本定理/161

3.2.1 牛顿-莱布尼兹公式/161

3.2.2 原函数存在定理/162

习题3-2/165

3.3 不定积分/166

3.3.1 不定积分的概念及性质/166

3.3.2 基本积分公式/167

3.3.3 积分法则/168

习题3-3/177

3.4 定积分的计算/178

3.4.1 定积分的换元法/179

3.4.2 定积分的分部积分法/182

习题3-4/183

3.5 定积分应用举例/184

3.5.1 总量的可加性与微元法/184

3.5.2 几何应用举例/185

3.5.3 物理、力学应用举例/190

习题3-5/193

3.6 反常积分/195

3.6.1 无穷区间上的反常积分/195

3.6.2 无界函数的反常积分/197

3.6.3 反常积分的收敛判别法/199

习题3-6/202

3.7 定积分的近似计算/203

3.7.1 牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)

公式/204

3.7.2 复化牛顿-柯特斯公式与逐次

分半算法/205

习题3-7/207

复习题三/207

习题参考答案与提示/209

第4章 微分方程/214

4.1 微分方程的基本概念/215

4.1.1 基本概念/215

4.1.2 作为数学模型的微分方程/218

习题4-1/220

4.2 微分方程的初等积分法/221

4.2.1 一阶可分离变量方程/221

4.2.2 一阶线性微分方程/223

4.2.3 利用变量代换求解微分方程/225

4.2.4 某些可降阶的高阶微分方程/228

习题4-2/230

4.3 一阶微分方程建模/231

4.3.1 线性方程/231

4.3.2 非线性方程/234

4.3.3 线性微分方程组和非线性

方程组/237

习题4-3/240

4.4 高阶线性微分方程/240

4.4.1 线性微分方程通解的结构/240

4.4.2 高阶常系数齐次线性微分方程的

解法/243

4.4.3 高阶常系数非齐次线性微分方程的

解法/246

4.4.4 某些变系数线性微分方程的

解法/252

习题4-4/255

4.5 线性微分方程组/256

4.5.1 线性微分方程组通解的结构/256

4.5.2 常系数齐次线性微分方程组的

解法/259

4.5.3 常系数非齐次线性微分方程组的

解法/263

习题4-5/265

4.6 微分方程的数值解/266

4.6.1 欧拉方法与误差分析/266

4.6.2 龙格-库塔法/270

4.6.3 多步法/273

习题4-6/274

习题参考答案与提示/274

附录 几种常见曲线/278

参考文献/280