本书在编写及修订时注意保持及突出以下特色:

(1)以矩阵的理论和运算为主线,把行列式看作矩阵的一个数值特性,突出矩阵的三个数值特性(行列式、秩、特征值)在线性代数中的作用;将向量组、线性方程组、二次型及线性变换与矩阵建立联系,重点对矩阵进行研究,然后用矩阵理论来解决相关问题。

(2)将初等变换作为贯穿全书的主要计算工具。行列式的计算、矩阵的求逆、矩阵的秩的计算、求向量组的极大无关组、解线性方程组以及求矩阵的特征向量等问题主要通过初等变换来完成。虽然有的问题也可通过其他方法来解决,但是初等变换的方法一般会更简便、更容易掌握,并且便于用计算机来实现。

(3)充分利用分块阵来表达和论证问题,使得表达简练、思路清晰。例如,对矩阵、向量组和线性方程组之间关系的研究,对行列式和矩阵的秩的性质的证明等,都使用了分块阵。

(4)注意介绍主要概念和主要问题产生的历史背景,并尽可能地给出其直观解释;对于主要结论均给出了严格的证明;对于主要计算问题,均有详细的方法介绍,并配置合适的例题和习题。为了培养读者解决实际问题的能力,提高读者学习的兴趣,给出了一定量的应用实例。为了加深读者对基本概念和主要知识的理解和掌握,配备了大量的思考题。这些思考题是根据编者的多年教学实践构造出来的。

(5)本书随文提供视频微课供学生即时扫描二维码进行观看,实现了教材的数字化、信息化、立体化,增强了学生学习的自主性与自由性,将课堂教学与课下学习紧密结合,力图为广大读者提供更为全面并且多样化的教材配套服务。

第1章 矩阵及其初等变换………………………………………………………………… 1

 1.1 矩阵的概念及其运算 ……………………………………………………………… 1

 1.2 向量与分块阵……………………………………………………………………… 11

 1.3 初等变换与初等阵………………………………………………………………… 17

 *1.4 应用举例 …………………………………………………………………………… 23

第2章 行列式 …………………………………………………………………………… 28

 2.1 行列式的定义……………………………………………………………………… 28

 2.2 行列式的性质……………………………………………………………………… 31

 2.3 行列式的计算……………………………………………………………………… 37

 2.4 分块三角行列式及矩阵乘积的行列式…………………………………………… 45

 *2.5 应用举例 …………………………………………………………………………… 48

第3章 可逆阵及n×n 型线性方程组 ………………………………………………… 50

 3.1 可逆阵……………………………………………………………………………… 50

 3.2 n×n 型线性方程组 ……………………………………………………………… 62

 *3.3 分块阵的初等变换 ………………………………………………………………… 65

 *3.4 应用举例 …………………………………………………………………………… 68

第4章 向量组的线性相关性与矩阵的秩 ……………………………………………… 70

 4.1 向量组的线性相关性和秩………………………………………………………… 70

 4.2 矩阵的秩…………………………………………………………………………… 76

 4.3 矩阵的秩在向量组中的应用……………………………………………………… 85

 *4.4 应用举例 …………………………………………………………………………… 90

第5章 线性方程组 ……………………………………………………………………… 93

 5.1 线性方程组解的存在性…………………………………………………………… 93

 5.2 线性方程组解的性质、结构与解法 ……………………………………………… 96

 *5.3 应用举例 ………………………………………………………………………… 103

第6章 向量空间及向量的正交性……………………………………………………… 106

 6.1 向量空间 ………………………………………………………………………… 106

 6.2 向量的正交性 …………………………………………………………………… 111

第7章 方阵的特征值与相似对角化…………………………………………………… 117

 7.1 方阵的特征值及其特征向量 …………………………………………………… 117

 7.2 相似矩阵 ………………………………………………………………………… 123

 7.3 实对称阵的相似对角化 ………………………………………………………… 128

 *7.4 应用举例 ………………………………………………………………………… 135

第8章 二次型…………………………………………………………………………… 139

 8.1 二次型的概念及标准形 ………………………………………………………… 139

 8.2 正定二次型与正定阵 …………………………………………………………… 147

 *8.3 应用举例 ………………………………………………………………………… 152

第9章 线性空间及其线性变换………………………………………………………… 154

 9.1 线性空间与内积空间 …………………………………………………………… 154

 9.2 线性空间的基、维数与坐标……………………………………………………… 157

 9.3 线性变换及其矩阵表示 ………………………………………………………… 160

关键词汉英对照…………………………………………………………………………… 166

参考文献…………………………………………………………………………………… 168